Arquímedes, un ingeniero siciliano
Muerto con certeza en 212 a.C., presumiblemente asesinado mientras cavilaba en un problema, por negarse a abandonarlo, y nacido estimativamente en 287 a.C. en Siracusa, Arquímedes es el primer físico-matemático de alta densidad de la humanidad del que haya quedado registro, en el que se inspiraron colosos como Galileo y Newton.
Casi nada se sabe de su vida privada. Se conjetura que su padre era astrónomo, y su abuelo, artista. Su nombre significa “mente suprema” o “suprema sabiduría”, por lo que casi seguramente era un apodo posterior que le pusieron sus contemporáneos. Su fama como matemático fue superada, entre el vulgo, por la de inventor de armas de guerra y estratega logístico en tales ocasiones. Como ejemplo, los romanos fueron batidos en el mar por los siracusanos debido a la precisión con que habían sido dispuestas las catapultas en tierra, de manera de no dejar puntos ciegos por donde pudieran pasar las naves invasoras.
Menos se ignora sobre su obra, la que quedó plasmada en tres códices (el A, el B y el C). Los tres contienen Sobre el equilibrio de los planos; el A y el B, La cuadratura de la parábola; el A y el C, Sobre la esfera y el cilindro, La medida del círculo y Sobre las espirales; el B y el C, Sobre los cuerpos flotantes; Sobre conoides y esferoides y El arenario están sólo en el códice A; y el C es el único que contiene El método y El Stomachion. El códice A se perdió hacia el siglo XVI y el códice B hacia el siglo XIV. Sólo sobrevivió el códice C, del que había noticia hacia 1903 pero que luego desaparecería de la escena pública hasta reaparecer en 1998, en una subasta en Christie’s (Nueva York). Recién comenzaría a ser descifrado hacia el 2000, y sigue en ese proceso.
Téngase en cuenta que estos mencionados códices no eran originales escritos por el propio Arquímedes -quien escribía sobre papiros (vegetales) que el tiempo pulverizó-, sino copias realizadas a través de los siglos sobre pergamino (piel animal). Así, encadenadamente, es como ha llegado hasta nosotros el conocimiento escrito de la Antigüedad, y a través de las referencias de otros escritores, que a su vez llegaron de igual modo.
La obra arquimediana es muy interesante por su método, su estilo y la relevancia de los problemas que se plantea.
Su método era una combinación doble de la utilización de la demostración por el absurdo y del método de exhaución, siendo este último un razonamiento por aproximación que se repite hasta el infinito, lo que hoy se conoce como “tendencia al límite”. Recién en el siglo XVII Newton y Leibniz mecanizarían este tipo de razonamiento dando lugar al cálculo diferencial e integral, base de la ciencia y la técnica modernas.
El estilo expositivo de Arquímedes era austero, sutilmente burlón y manifiestamente enigmático. Austero, por lo lacónico, lo que lo torna de muy difícil lectura tanto en su griego original como en las traducciones latinas. Burlón, por lo desafiante hacia los lectores. Muchas veces quería confundirlos, como lo explicita en su carta a Dositeo, en Sobre las espirales: “dos de los descubrimientos anunciados estaban ‘manipulados’; para que aquellos que afirman descubrirlo todo, sin presentar ninguna prueba propia, sean cuestionados por afirmar haber probado lo imposible.” E intrigante porque Arquímedes va avanzando en sus teoremas como Alfred Hichtcock en sus films: de manera serpenteante, sin anticipar el final, siempre inesperado, como síntesis de escenas (teoremas) aparentemente inconexas.
Finalmente, y este es el aspecto más mágico, sus razonamientos a priori conducen a predicciones que se verifican empíricamente a posteriori, enlazando la geometría con la física, y dando soporte a construcciones y experimentaciones útiles. La mente comprendiendo la materia sin mediación sensible sino a través del puro razonamiento. Casi toda la ciencia anterior a la Edad Moderna carece de este atributo, al ser un pensamiento puramente especulativo sin utilidad práctica.
Sucede que antes que matemático, Arquímedes era ingeniero, abocado a resolver todo el tiempo problemas prácticos, de los que seguramente surgieron los problemas teóricos que se planteaba. Según la tradición, todas las especialidades mecánicas fueron de su incumbencia: construyó maquinaria bélica, fortificación militar, sistemas de poleas compuestas, aparatos de extracción de agua, planetarios y esferas celestes, y otros artilugios espectaculares.
Pero semejantes método y estilo, adicionados a lo intrincado de los problemas que se planteaba, propios de la matemática avanzada, hicieron a su obra muy complicada, sólo asequible para un escasísimo público especializado, y en ese sentido pasó casi desapercibida comparada con la de Euclides (siglo III a.C.), que es básica, lineal, fácil de seguir. Sufrió así la falta de atención por parte de los copistas, cuya tarea principal durante el primer milenio fue transcribir los papiros en rollos (vegetales) a pergaminos (piel de animal) en códices (tipo libro), para evitar su desaparición por desgaste natural con el paso del tiempo, y para hacerlos legibles bajo la nueva notación, dado que antiguamente se escribía todo con mayúsculas y sin solución de continuidad. Las obras de Arquímedes eran tan difíciles, que van precedidas de una carta dirigida a algún erudito de los pocos que él sabían que podían llegar a entender cabalmente sus razonamientos. Por eso se requirió más de un milenio para que mentes como las de Galileo y Newton lo desempolvaran.
Sobre el equilibrio de los planos trata de encontrar, para diferentes tipos de planos, comenzando con el triángulo, el punto en el cual, atado a un hilo, mantendría a cada plano en equilibrio, es decir, su centro de gravedad. Lo que estableció para el triángulo (que su centro de gravedad se encuentra en su línea mediana, a un tercio de su longitud) luego lo generalizó para el resto de las figuras planas, remitiéndose siempre al triángulo. Además estableció la ley de la palanca: dos objetos se encuentran en equilibrio cuando sus distancias son inversas a sus pesos.
La cuadratura de la parábola establece que el segmento de una parábola es igual a 4/3 del triángulo que encierra. Es casi como cuadrar un círculo.
Sobre la esfera y el cilindro establece que el volumen de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro que la circunda, y su superficie, cuatro veces el área de su circunferencia más grande. Esta proposición sería la predilecta de Arquímedes, si es correcto que la tumba que encontrara Cicerón en el 75 a.C., con una esfera y un cilindro que la encierra con exactitud, fuera la del ingeniero.
En La medida del círculo, el Teorema I es una cuadratura del círculo con su método de exhaución; y el Teorema III establece una increíblemente próxima estimación de pi, que ubica entre 3 10/71 y 3 1/7.
En Sobre las espirales, Arquímedes define a la espiral cinemáticamente. Estableció que su superficie es 1/3 de la comprendida por el círculo que la rodea.
Sobre los cuerpos flotantes establece que un sólido sumergido pierde un peso igual al del volumen del agua que desplaza. La leyenda, relatada por el ingeniero Vitruvio, dice que al descubrir esto mientras estaba en su bañera, Arquímedes exclamó “¡Eureka!” (“¡lo encontré!”) y salió desnudo corriendo y saltando, loco de alegría. Francamente, la anécdota no condice con las demás características del personaje.
Sobre conoides y esferoides establece sus mediciones, siendo conoides, parábolas a las que se hace rotar de manera que encierren un determinado espacio, y esferoides, elipses giradas de manera análoga.
El arenario calcula cuántos granos de arena caben en el Universo. Allí mismo aparece un problema en verso (¡un matemático poeta!) de ocho incógnitas con siete ecuaciones, para tratar de establecer la composición del ganado del dios Helios que los marineros de Odiseo sacrificaron en la isla de Trinacia (posiblemente, Sicilia). La solución más pequeña posible arroja un número de 206.456 dígitos, debido a la limitación de que cada incógnita admite sólo un número entero (no existen medias vacas). Otro reto al lector.
El método, hasta hace una década sólo se conocía por la referencia que hizo Herón (matemático del siglo I d.C.) en su obra “La métrica”: “El propio Arquímedes demuestra que si en un cubo se introducen dos cilindros cuyas bases son tangentes a las caras del cubo, el segmento común de los cilindros será igual a 2/3 del cubo. Esto resulta de utilidad para las bóvedas que se construyen de esta manera.” Es decir, bóvedas cruzadas, en las que los espacios cilíndricos se tallan a partir de mampostería rectilínea. No por casualidad Herón escribió un tratado sobre construcción de bóvedas. El códice C, conteniendo una copia de El método que data aproximadamente del año 970, fue re-hallado recién en 1998 y descifrado parcialmente hacia 2003, pues el texto se hallaba en un pergamino, sobre el cual se había escrito hacia el año 1229 una oración religiosa (antiguamente, los pergaminos eran muy costosos, y se raspaban para borrar textos y dar lugar a la posibilidad de volver a utilizarlos).
El Stomachion (“dolor de estómago”) es un rompecabezas que no inventó Arquímedes, y que consistía en 14 piezas irregulares que hay que acomodar para que formen un cuadrado. Su nombre indica lo difícil que era resolverlo. Arquímedes se preguntó de cuántas maneras era posible hacerlo, inaugurando oficialmente el desarrollo de la combinatoria en la matemática, que durante muchos años se había creído que comenzaba recién en el siglo XVI. Mediante sustituciones y rotaciones de las figuras, determinó que había 536 soluciones básicas, con 32 variantes cada una: un total de 17.152 maneras de disponer las 14 piezas y formar un cuadrado perfecto. El Stomachion también se conoció recién al descifrar el códice C.
Arquímedes resulta atractivo y simpático por su estilo enigmático y burlón, pero lo que lo hace grandioso, como su nombre lo indica, es su genialidad tanto en la elección de los problemas como en el desenvolvimiento de su método para resolverlos. El conocimiento que adicionó al acervo humano no es sólo la solución del problema, sino adicionalmente un mecanismo útil para resolver otros problemas. Como él mismo lo expresó en carta a Eratóstenes, director y sabio de la biblioteca de Alejandría:
“¡Saludos! Como sé que eres una persona diligente y un excelente profesor de filosofía, y que estás muy interesado en cualquier clase de investigación matemática que pueda cruzarse en tu camino, se me ocurrió que podía ser conveniente escribirte para contarte acerca de cierto método especial… Imagino que habrá algunas personas de la generación actual y de las generaciones futuras que podrán servirse de los métodos explicados aquí para descubrir otros teoremas que no hayan caído en nuestras manos.”
En el plano humano, tal vez la principal enseñanza que nos brinda la vida de Arquímedes es la necesidad de moderar la altanería y la soberbia, que se veían reflejadas en el tono de sus cartas con las que acompañaba sus obras manuscritas a ciertos colegas, como quien les dice: “chupate esta mandarina”. Y no olvidemos que su asesinato se produjo la misma noche de la jornada en que los siracusanos vencieran navalmente a los romanos, pero éstos se las ingeniaran para ingresar por el muro de la ciudad aprovechando el desenfrenado festejo de aquéllos, gracias a las informaciones de un traidor. No sólo asesinaron al ingeniero armamentista, sino que saquearon completamente la ciudad, terminando vencedores. Lo cual prueba que la vida requiere mucho más que matemática y ciencia.
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